Marilyn vos Savant e il Problema di Monty Hall

Marilyn vos Savant è un'editorialista e saggista americana, discendente del fisico Ernst Mach. È famosa per essere riconosciuta dal Guinness dei Primati come la persona con il quoziente d'intelligenza più alto. Dal 1986 sulla rivista Parade si occupa della rubrica domenicale Ask Marilyn, in cui risponde alle domande dei lettori su diversi argomenti e risolve enigmi logico-matematici. Tra questi divenne celebre la sua spiegazione del Problema di Monty Hall.

Il Problema di Monty Hall è un famoso problema di calcolo della probabilità, legato al gioco a premi Let's Make a Deal, e prende il nome dal conduttore dello show. La sua formulazione originaria era stata ideata dal matematico Joseph Bertrand nel 1889, ed era nota come Il paradosso delle tre scatole di Bertrand. Una rivisitazione del problema venne inviata a Marilyn nel 1990 da un uomo di nome Craig Whitaker.

"Un uomo partecipa a un quiz televisivo. Può vincere un'auto. Il presentatore gli mostra tre porte. Dice che dietro a una delle porte c'è l'auto in palio, mentre dietro alle altre due ci sono delle capre. Gli chiede di sceglierne una. Quella che ha indicato non viene aperta. Il presentatore invece apre una delle porte che il concorrente non ha scelto e mostra una capra (poiché lui sa cosa sta dietro a ognuna delle porte). A quel punto gli dà un'ultima possibilità prima che si spalanchino tutte le porte e vinca un'auto o una capra. Infine domanda se vuole cambiare idea e scegliere una delle porte ancora chiuse. Che cosa gli suggerisce di fare?"

Marilyn vos Savant rispose che bisognava cambiare porta, perché in questo modo la probabilità di trovare l'auto sarebbe stata di 2/3. 
L'episodio fece scalpore e Marilyn ricevette all'incirca 10mila lettere, la maggior parte delle quali di protesta, alcune contenenti anche degli insulti. Il 92% delle persone che le scrissero erano convinti che si fosse sbagliata: secondo loro la probabilità di trovare l'auto era del 50%, perchè se ci sono due porte, dietro una c'è una capra, dietro l'altra c'è un'auto, la probabilità di aprire la porta con l'auto è di 1/2. Tra i detrattori ci furono anche dei docenti universitari di matematica, che nelle loro lettere indignate sostenevano che si fosse sbagliata, lamentando la sua mancanza di competenze in matematica e la sua ignoranza, e che con tono strafottente irridevano anche il suo tanto alto QI.
Solo che Marilyn vos Savant aveva ragione. La soluzione di questo problema è controintuitiva: infatti se l'intuito ci dice che la risposta dovrebbe essere 1/2, applicando la logica si può dimostrare che invece è 2/3. Ci sono diversi modi per spiegare la soluzione, sia attraverso il formalismo matematico (che però può essere difficile da capire), oppure in maniera più semplice attraverso un disegno schematico di questo tipo, un diagramma di flusso: 

Bisogna partire dal presupposto che il giocatore sa almeno dietro quale porta si trova la capra1, di conseguenza l'apertura della seconda porta può dare solo due risultati (auto/capra2), invece che tre (auto/capra1/capra2). Lo schema mostra che dopo aver scelto la prima porta, ci sono due opzioni (cambiare porta/non cambiare porta), e che per ciascuna porta si presentano due situazioni (vinci auto/vinci capra2): per arrivare dall'una all'altra bisogna seguire un determinato percorso. Seguendo il percorso del cambio porta (in arancione), si può vedere che ci sono 2 possibilità di vincere l'auto contro 1 di vincere la capra (2/3); invece seguendo il percorso del non cambiare porta (in azzurro), c'è 1 possibilità di vincere l'auto contro 2 di vincere la capra (1/3).

Semplificando, si possono verificare tre possibili scenari.

1) Il giocatore sceglie capra1. Il conduttore sceglie capra2. Cambiando, il giocatore vince l'auto. 

2) Il giocatore sceglie capra2. Il conduttore sceglie capra1. Cambiando, il giocatore vince l'auto. 

3) Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra. 

Perciò su 3 possibili scenari, 2 portano a vincere l'auto, quindi il risultato è 2/3. Se invece il giocatore non cambia la porta, la possibilità di vincere l'auto è di 1/3. In questo caso il risultato è dato dalla probabilità dei possibili scenari.

Dov'è stato l'errore commesso da chi ha creduto che Marilyn si fosse sbagliata? Nel credere che il passato non abbia alcuna influenza sulle decisioni successive che prendiamo. La Matematica è in grado di dimostrare che le possibilità che ci si presentano davanti sono frutto delle scelte che abbiamo compiuto.

Marilyn in seguito ripropose ancora la questione, continuando a spiegare la soluzione. Dopo alcune settimane riuscì a convincere solo il 56% delle persone che le avevano scritto, le altre rimasero rigidamente del loro parere. Come si può vedere, è difficile sradicare un'idea che si è insinuata, specie se si va a scuotere credenze fortemente radicate o delle quali ci si sente sicuri, per proporre di contro dei concetti rivoluzionari o controintuitivi. Si parla di neuroplasticità come della capacità di modellare le proprie convinzioni ed essere aperti all'apprendimento di cose nuove; è una caratteristica importante del periodo dello sviluppo, ma col tempo viene meno, perché con l'età e l'esperienza personale si tende a irrigidirsi nelle proprie convinzioni e a non mettere in discussione i propri schemi mentali. Per descrivere questa condizione ho da tempo coniato il termine neurovetrosità.