Chimica for Lovers #11: Geometria di Riemann

La rubrica Chimica for Lovers è in genere dedicata alle domande più belle che mi hanno posto gli studenti, ma occasionalmente prendo anche spunto da ciò che mi capita sottomano. Immagino ricorderete i terrificanti contributi degli ultimi episodi di Chimica for Dummies... Nella valanga di assurdità che mi sono ritrovato a leggere, c'è stata anche quella di un utente che ha affermato: “Esistono più geometrie? tu sei pazzo da legare!!!” Perciò ho deciso di usare il suo intervento ignorante per scrivere un articolo.

La base della geometria è la definizione di alcuni enti fondamentali: il punto, che è adimensionale; la retta, che è un insieme di punti, ed è monodimensionale; infine il piano, che è un insieme di rette, ed è bidimensionale. L'intersezione di due piani crea poi uno spazio tridimensionale. Per costruire una geometria si devono definire le relazioni tra di essi, che devono soddisfare alcune regole. Quella che utilizziamo comunemente si chiama "geometria euclidea", perché ha alla base i cinque postulati di Euclide, che ne dettano i fondamenti: ovvero la geometria funziona sulla base di questi postulati, che non possono essere violati, altrimenti si finisce con lo sbagliare calcoli e ragionamenti. 

Ma se invece decidessimo in partenza di non rispettare uno o più dei postulati di Euclide, negandoli o non accettandoli, allora è possibile ripartire da zero e costruire un diverso tipo di geometria, basata su regole diverse, in cui decadono alcune proprietà che sembravano fondamentali: sono le geometrie non-euclidee. Diversamente da Chimica e Fisica, in cui le proprietà fondamentali non possono essere violate, la Geometria è qualcosa di astratto, quindi dipende da come viene costruita, cioè dalle regole di base che sono state stabilite. Ma del resto alcuni rami della Fisica hanno validità a seconda del sistema di riferimento e condizioni fisiche estreme possono modificare le proprietà chimiche.

Per esempio, in geometria immaginiamo il piano come una superficie, per l'appunto, piana: lo possiamo vedere un po' come il terrazzo di un edificio. Ma se invece immaginassimo dei piani curvi, allora avremmo bisogno di una geometria in grado di descrivere spazi tridimensionali curvi: è la geometria di Riemann. 

Essa si basa sulla violazione del V postulato di Euclide, che dice che per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta a essa parallela. Ma se al posto della retta sostituiamo il concetto di curva geodetica (ovvero della curva più breve che unisce tra loro due punti) allora l'ipotesi che facciamo, e che diviene un postulato alternativo, è che per un punto esterno a una retta non passi alcuna retta a essa parallela. Ed è sulla base di questo assunto (che corrisponde anche al quarto assioma di Hilbert) che si costruisce la geometria riemanniana. Ma tutto ciò ha delle applicazioni pratiche? 

Viene utilizzata nella descrizione di oggetti curvi, tra cui per esempio il nostro pianeta (il che è anche una smentita della delirante teoria della terra piatta, dato che altrimenti i calcoli non sarebbero corretti), e quindi viene applicata nella navigazione, compresa quella aerospaziale. 

Non solo, è stata fondamentale nello sviluppo della teoria della relatività, in quanto la gravità ha la proprietà di curvare lo spazio-tempo: in vicinanza di oggetti dotati di un intenso campo gravitazionale lo spazio diviene curvo, e la curvatura è tanto maggiore in ragione dell'intensità del campo gravitazionale (cioè della massa dell'oggetto, che da esso dipende). Questo ha permesso di spiegare le anomalie nel moto di Mercurio. Per diverso tempo si è ipotizzato che tra il Sole e Mercurio vi fosse un pianeta (Vulcano) che rendesse conto del suo anomalo moto di rivoluzione. Vulcano però non esiste e la meccanica classica non era in grado di spiegare l'anomalia: questo perché si basa sulla geometria euclidea. Nella meccanica relativistica l'idea che l'intenso campo gravitazionale del Sole curvi lo spazio a lui prossimale permette di spiegare il moto di Mercurio usando la geometria di Riemann, che tiene conto del fatto che a causa della curvatura dello spazio la distanza da percorrere è maggiore.