martedì 5 maggio 2020

La Probabilità del Quotidiano

“Avete mai notato che quando ti serve un certo autobus questo non passa mai, e si rimane lì ad attenderlo inutilmente alla fermata, mentre ti scorrono davanti, uno dopo l’altro, tutti quelli che non ti servono? E che quando invece ti serve uno di questi sono loro a non passare mai, ed è quello che prendi di solito, e che in quel momento non ti serve, a passarti subito davanti, addirittura a volte anche più di uno, quasi come se volesse prendersi gioco di te? Altro che statistica e calcolo della probabilità...” 

Questa che avete letto è una riflessione ironica di Silvia Petrini, protagonista del racconto All You Can Eat, presente nel mio libro. Immagino che avrete intuito che a Torino il trasporto pubblico dà parecchi problemi e penso che molti di voi siano d'accordo con lei: insomma, è capitato a tutti di attendere un certo autobus che sembra non passare mai, e quando invece non si deve prenderlo eccolo lì che passa subito. È solo un esempio, ma se ne potrebbero fare degli altri. Eppure la probabilità che passi un autobus, sorvolando su eventi eccezionali quali uno sciopero dei mezzi, è sempre la stessa, no? La matematica non mente, giusto? 
Temo che la risposta non sia così semplice. La probabilità e la statistica si basano sui grandi numeri. Se tirate un dado, c'è una probabilità di uno a sei (17%) che esca 1. Quindi se tirate il dado, è poco probabile che esca 1 al primo tentativo: ci sono cinque probabilità contro sei (83%) che non succeda. Se però ripetete il gioco per sei volte consecutive, diventa più probabile che almeno una volta esca 1: la probabilità che succeda sale infatti al 67%. Ripetere per 10 volte la fa salire ulteriormente all'84%. E così via. 
Un errore diffuso è credere che la probabilità sul singolo evento sia determinata dalla statistica: ovvero pensare che se dopo aver tirato 10 volte il dado, l'1 non è mai uscito, al successivo tiro sarà più probabile che esca. È chiamata "fallacia dello scommettitore", ed è un tipo di distorsione cognitiva, perché la probabilità in ogni singolo evento è sempre la stessa: all'undicesimo tiro la probabilità che esca 1 rimane del 17%. Solo cumulativamente aumentano, cioè considerando l'insieme dei tentativi, mentre la probabilità "puntuale" resta la stessa, ed è il motivo per cui "il banco vince sempre". 
Solo sui grandi numeri gli eventi si normalizzano, e possono allora verificarsi eventi improbabili (ma non impossibili): ne è un esempio l'effetto tunnel, un fenomeno quantistico. A questo proposito uno dei personaggi di Probabilità, un altro racconto del libro, afferma: “Il fatto che qualcosa sia improbabile, non vuol dire che non possa avvenire. Prendi la vita su questo pianeta: il fatto che sulla Terra ci sia la vita, che ci siamo io e te, è dato dalla risultante di tutta una serie di fattori tale che la loro combinazione lo rende un evento del tutto improbabile. Improbabile, ma non impossibile... altrimenti non saremmo qui a discuterne.” 
La statistica e la probabilità giocano sui grandi numeri. Più i numeri (le prove) sono grandi e più un qualcosa è matematicamente prevedibile in maniera certa. In Chimica Analitica è il principio del “ripetere un numero statisticamente valido di volte” un'analisi, il cui risultato viene fornito come media dei risultati ottenuti nelle varie prove, al netto della dispersione statistica: maggiore il numero di prove, più esatto sarà il risultato. Inoltre minore è la dispersione statistica (cioè la fluttuazione dei risultati delle varie prove), più attendibile sarà il risultato.
Questo viene applicato anche allo studio di sistemi complessi. La termodinamica statistica descrive il comportamento complessivo di un insieme di molecole. Il comportamento di una singola molecola non è prevedibile, mentre lo è quello complessivo di un insieme numeroso di molecole. E più è numeroso, più la predizione si fa esatta. Sembra un controsenso, in quanto un sistema complesso ha un numero di variabili almeno pari al numero di elementi che lo costituisce, e quindi è al di là delle nostre capacità risolvere un problema del genere. In realtà è la stessa complessità del problema a permetterne la risoluzione, in quanto a livello macroscopico non si osserva la singola molecola, ma il sistema nel suo complesso, come media statistica: l’enorme numero di particelle da considerare rende poco probabili scostamenti significativi dal comportamento medio. In una soluzione la maggior parte delle molecole si comporta in un certo modo, statisticamente prevedibile, mentre sono poche quelle che se ne discostano. Ma tanto in Chimica interessa il sistema nel suo complesso, non la singola molecola, ovvero si gioca sui grandi numeri.
Viene da qui l'idea alla base della serie della Fondazione di Isaac Asimov, che era un chimico e questi concetti li conosceva bene. L'assunto è che il comportamento di un singolo individuo non è prevedibile, mentre lo è quello di un grandissimo numero (la popolazione della galassia), attraverso la psicostoriografia, un'immaginaria scienza matematica. Asimov le assegna alcune regole di contorno: non può venire applicata a un singolo individuo, ma solo a grandi gruppi di esseri umani e solo a loro; inoltre la sua esistenza va tenuta sconosciuta alla maggior parte di essi, altrimenti si comporterebbero in maniera da vanificarne l'esattezza. Già il filosofo Winwood Reade nel XIX secolo sottolineava che il singolo individuo è un enigma, ma quando è assieme ad altre persone diviene una certezza matematica: è impossibile predire come agirà un uomo, mentre è possibile prevedere con una certa esattezza cosa faranno un certo numero di uomini messi assieme.
Questa idea ha dei punti di contatto con la Teoria dei giochi, una disciplina della matematica applicata. La sua origine viene fatta risalire a un carteggio del 1654 tra Pascal e Fermat sul calcolo delle probabilità applicato al gioco d'azzardo, ed è valsa otto premi Nobel per l'Economia (uno dei quali a John Nash Jr.). Essa studia e analizza le decisioni individuali di un soggetto in situazioni di conflitto o interazione strategica in cui deve cercare di massimizzare il proprio guadagno, in un contesto in cui le decisioni di ogni giocatore possono influenzare le decisioni degli altri, spingendoli verso soluzioni competitive e/o cooperative; nel contesto economico è il caso di aziende concorrenti. Più il gioco prosegue, e più il comportamento dei giocatori diviene predeterminabile, per la natura stessa delle regole del gioco. Bisognerebbe però tenere conto del fattore umano: l'individuo si comporta come una singola molecola, pertanto il suo comportamento non è predeterminabile in tutti i contesti. Per esempio il giocatore, volendo, potrebbe anche decidere di ignorare le regole del gioco, cioè di imbrogliare.
Dunque Silvia osserva che quando aspetta un certo autobus, questo tarda a passare; gli autobus che non le servono passano invece normalmente, mentre non passano quando le servono. Si chiama "effetto dell'osservatore", ed è ben noto in fisica quantistica: un osservatore è in grado di influenzare il risultato di un esperimento già solo per il fatto di aver compiuto l'esperimento, ovvero di aver osservato il fenomeno, in quanto l'atto della misurazione introduce un fattore esterno. È la visione di Copenaghen della meccanica quantistica: il compiere un esperimento influenza l'esito dell'esperimento. Secondo alcune interpretazioni, significa che siamo in grado di alterare l'essenza della realtà per il fatto di agire in essa; in realtà questo andrebbe inteso in termini puramente quantistici, ovvero nel mondo submolecolare di atomi e particelle. 
Il passaggio regolare degli autobus è quindi statisticamente predeterminato con esattezza, in quanto si tratta di eventi correlati a grandi numeri (un gran numero di passaggi, fermate e passeggeri), proprio come cercare di prevedere il comportamento complessivo di un grande numero di molecole. Ma quando si tratta della povera Silvia, l'autobus che attende è come una singola molecola, e quindi la statistica non riesce a predeterminarne con esattezza gli eventi, perché il calcolo della probabilità funziona bene sui grandi numeri: il comportamento individuale può infatti discostarsi da quello medio complessivo. E questo vale tanto per l'autobus quanto per lei.
Il che può essere letto sia in termini negativi come positivi: è vero che il mondo attorno a noi sembra remarci contro e ci troviamo a viaggiare al buio, senza sapere cosa ci aspetta da un momento all'altro, ma d'altra parte almeno abbiamo la possibilità di giocarcela giorno per giorno, attimo per attimo, decidendo noi il nostro destino, senza vincoli deterministici. Anche se poi alla fin fine la penso esattamente come Silvia: gli autobus sono sempre in ritardo quando ne hai più bisogno.

Potete trovare La Piccola Magia del Quotidiano, dove sono contenuti i racconti citati nell'articolo, cliccando qui, oppure ordinando il volume in libreria.

20 commenti:

  1. A Torino non so perché ci sono stato una sola volta (però mi fido della tua testimonianza) ma a Roma ti posso dire che non servono calcoli probabilistici per sapere che l'autobus arriverà in ritardo. Anzi, la si può definire una certezza. Sono quasi certo che se Asimov fosse vissuto a Roma, non sarebbe riuscito a concepire l'immaginaria psicostoriografia, ma probabilmente avrebbe basato i suoi romanzi su una teoria del caos estremistica ;-)

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    1. In realtà esiste anche una matematica in grado di descrivere i sistemi caotici: è la geometria frattale. Anni fa ne avevo parlato sostenendo l'ipotesi che ciò che ci sembra disordinato in realtà abbia solo un grado di ordine diverso, che non riusciamo a cogliere perché non abbiamo la possibilità di osservare il sistema nella sua interezza. Esistono infatti un ordine a corto raggio e a lungo raggio. La sfasatura potrebbe poi essere dovuta al fatto che un sistema caotico possieda un grado di ordine frazionario, per cui non allineabile a quanto siamo abituati a fruire nella geometria classica.

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  2. Non capita solo a Torino, credimi...ho vissuto a Napoli, Firenze e la provincia di Venezia e tutto il mondo è paese, in quanto a ritardi e disservizi dei mezzi pubblici.
    Altra costante è che forse sarebbe piaciuta ad Asimov è l'estrema "respingenza" di tutti gli esponenti delle medesime aziende di trasporto ogniqualvolta si tenta di muovere una qualsiasi critica o richiesta di miglioramento del servizio. ;)

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    1. Il form di relazioni con la clientela non solo è del tutto inutile, ma anche frustrante averci a che fare.
      Comunque quanto descritto ha in sè un discorso di staticità omeostatica, ma esistono anche modelli e metodi per tenere conto di variazioni significative del sistema, quali condizioni di disequilibrio oppure il verificarsi di reazioni chimiche, quindi è possibile tenere conto di evoluzioni del sistema in positivo o negativo. Il discorso è che tutto è predeterminabile su un sistema nel suo complesso, la singola molecola (autobus o persona) resta invece imprevedibile.

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  3. Silvia assomiglia alla Mastronardi o è solo un piccolissimo caso di sosia nel mondo? :o
    Forse sono riuscito a comprendere anche il discorso di mezzo, ossia che una folla ha (avrebbe?) comportamenti più standardizzati perché non è più visto come movimento del singolo ma di un grande insieme.
    Spiegami una cosa, che davvero non ho mai capito.
    Estraendo 10 numeri tipo tombola, ci sono le stesse probabilità che questi seguano un ordine convenzionale (es. proprio da 1 a 10) oppure usciranno sempre più casuali rispetto a un ordine ideale?

    Moz-

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    1. La Mastronardi era una buona scelta come interprete "ideale" di Silvia. Così come Roberta Giarrusso lo sarebbe per sua sorella Alice. A volte quando creo un personaggio mi piace immaginare chi potrebbe interpretarlo in un film. 😁

      Il discorso sulla folla è parecchio complesso, perché sono diverse le dinamiche. Quello che dici è abbastanza giusto, nel senso che in un gruppo di individui il comportamento del singolo tende a uniformarsi a quello degli altri, cosa che si osserva in ciò che viene chiamato effetto carrozzone o effetto gregge, dovuto all'influenza della pressione sociale (ne parlerò più avanti in questa serie). E più il gruppo sociale diviene grande, più i comportamenti degli individui tendono a uniformarsi a quelli stabiliti o adottati dal gruppo sociale; altrimenti si entra nella devianza, cosa che può comportare uno stigma sociale. Il discorso del post va un po' oltre, discutendo che il comportamento di grandi gruppi di persone sia prevedibile, mentre quello del singolo individuo no.

      Per la domanda sulla probabilità, andrebbe specificato come fai il gioco. In ogni caso qualsiasi sequenza numerica tu voglia ottenere, la probabilità resta la stessa.
      Date queste due sequenze:
      A) 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
      B) 5-4-8-10-1-2-7-3-9-6
      la probabilità che si verifichi la prima o la seconda è la stessa.
      Il significato che diamo al numero non influenza la sua probabilità di uscita, ovvero il fatto che 2 sia maggiore di 1, non ha influenza sulla probabilità. 1 e 2 sono solo dei simboli. Immagina che al posto di 1 e 2 ci siamo un limone e una ciliegia: non è che il limone ha una probabilità diversa di uscire rispetto alla ciliegia.

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    2. La sequenza A ha per te un significato di ordine, perché la rapporti a una sequenza matematica. Ma che non sussiste, perché sono unicamente dei simboli, quindi non hanno quel significato.

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    3. Esatto, ma solo se dai altre opportunità di paragone, giusto?
      Ossia sequenza A e B.
      Ma se invece ti dico solo sequenza A (quella dell'ordine convenzionale) rispetto a qualsiasi altro ordine casuale, le probabilità resto uguali?
      Penso di no: facendo dieci serie di estrazioni, per me non si verificherà MAI la sequenza 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10.
      O sbaglio?

      Vero sulla folla: perché il comportamento è "uniformato" dalla grande quantità di gente, cioè la devianza o la singolarità del singolo "scompaiono" in un vasto numero.
      Ovviamente, anche io immagino spesso degli attori... ahaha :)

      Moz-

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    4. Qualunque sia la sequenza che decidi, la probabilità è la stessa, perché a ogni pescata i 10 numeri hanno sempre la stessa probabilità di uscire. Se hai 10 bussolotti, la probabilità che esca uno qualsiasi di essi è di 1 a 10, e questo vale per ogni pescata.
      Sei incorso in un tipo di distorsione cognitiva chiamata “fallacia dello scommettitore”. È quella per cui si crede che se sono diverse settimane che non esce il 52 sulla ruota di Bari, allora diventa più probabile che il 52 esca. Invece a ogni estrazione la probabilità è sempre la stessa.
      Inoltre è sbagliato dire che la sequenza A non si verificherà mai, mentre invece ha solo una bassissima probabilità di verificarsi. Se vuoi sapere quanto bassa, te lo dico.
      Dipende però da come fai il gioco. E da quante pescate fai. Immaginiamo che tu ne faccia 10.
      Se a ogni pescata, rimetti il bussolotto nel sacchetto, la probabilità che si verifiche la sequenza A è: (1/10)^10 cioè di 1 a dieci miliardi.
      Se invece togli il bussolotto a ogni pescata, la probabilità è di 1/10! cioè di 1 a 3.628.800.

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    5. Ora, nel mondo di tutti i giorni, una probabilità così bassa significa in pratica che non si verifica, anche perché i tentativi che uno si metterebbe a fare sono pochi. Ma nel mondo quantistico, dato che i tentativi sono innumerevoli, eventi così improbabili divengono effettivamente possibili, e sono alla base di fenomeni come l'effetto tunnel, citato sopra, da cui dipende l'esistenza stessa dell'universo. Non male, vero?

      Ora te ne dico un'altra. Prendi dei pezzetti di carta e scrivici sopra numeri da 1 a 10. Appallottolali e mettili in un sacchetto. Estraine uno, segnati il numero, poi rimettilo nel sacchetto. Ripeti il tutto per 10 volte. Ora guardati la sequenza numerica che hai ottenuto. La probabilità che uscisse proprio quella sequenza è di 1 a 10 miliardi. Ti si è appena verificato davanti agli occhi un evento assolutamente improbabile, tipo vincere dieci volte al totocalcio. Eppure è avvenuto. Straordinario, vero?
      Bene, su questo concetto si basa il racconto “Probabilità” del mio libro, che era citato nell'articolo.

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    6. Per quanto riguarda invece singolarità e devianza.
      La singolarità può scomparire, specie in un modello di società uniformante e normalizzatrice, e questo può generare alienazione (altra cosa di cui si parlerà in questa serie).
      La devianza invece è ciò che risalta, perché va a stridere con le regole alla base della società. E' un po' come una nota stonata che rompe l'armonia. Ecco perché viene stigmatizzata. Perciò la devianza o viene eliminata (per preservare lo status quo della società) oppure viene assorbita (il che comporta un cambiamento nella società stessa).

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    7. Perfetto, tutto chiaro.
      Comunque, la devianza non sempre è una nota stonata, ma magari una genialata che risalta... no?

      Moz-

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    8. Non proprio, almeno non in senso sociologico.

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  4. E perché, quante volte hai sperimentato la probabilità di sentirti male nel fine settimana e di avere bisogno di trovare la farmacia di turno o il medico: nel weekend ti vengono sempre i migliori mal di denti, ti accorgi di non avere più pillole contro il mal di testa... Tutta la settimana okay, non accade nulla (e per fortuna), poi arriva il sabato... Mi pare come la fermata degli autobus sbagliati, ma senza che c’entri la statistica! 😁

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    1. Quella del dentista c'era anche ne La Legge di Murphy...

      In realtà potrei darti una spiegazione psicofisiologica, almeno in forma ipotetica.
      Durante la settimana lavori o vai a scuola, quindi sei concentrato sulle faccende quotidiane, e la tua mente ha meno possibilità di soffermarsi sui piccoli dolori. Abbiamo un certo quantitativo di attenzione sul mondo: uno stimolo si prende tutta la nostra attenzione, due stimoli devono fare a metà (spesso non equivalenti), e così via. Una percentuale variabile delle nostre algie è mentale, e più ci pensiamo, più tendono ad acuirsi. Nel weekend la mente è più "libera" dalle preoccupazioni/stimoli quotidiani, ma libera anche di concentrarsi sui piccoli dolori.
      In teoria con dati statistici si potrebbe anche elaborarne un modello probabilistico tenendo conto di quanto sopra.

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    2. Del resto non tutti gli eventi hanno la stessa probabilità.
      Nel lancio di due dadi la probabilità di fare 2 è del 3%, la probabilità di fare 6 è del 14%.

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  5. Però ogni autobus ha un orario, tutti gli autobus hanno un orario, per cui come colleghi il discorso probabilistico? Non c'è un discorso di casualità qui.

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    1. L'autobus ha un orario di passaggio, ma non è detto che venga rispettato: è quello ottimisticamente più probabile, sulla base di una rilevazione statistica (o almeno mi auguro sia fatto così). Se c'è poco traffico, potrebbe arrivare 1 minuto in anticipo, se c'è molto traffico potrebbe arrivare in ritardo di qualche minuto. Il caso crea una distribuzione di probabilità attorno a quel valore statisticamente più verificato. E' più probabile che l'autobus passi nell'orario indicato, ma ciò non vuol dire che succederà per certo. Se tiri 2 dadi è più probabile che esca 6 che 2, ma non è certo che uscirà 6, è solo più probabile.
      Poi, come ben sanno i torinesi, capita piuttosto di frequente che per esempio il 67 di 3 passaggi non ne faccia uno. Oppure che passi in un orario intermedio tra due passaggi. Quindi altro che orario e statistica... come si dice qua a Torino: "Ciau bale!"

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    2. Quindi, diciamo, che più che probabilità che passi è la probabilità che sia in orario?
      Però la tua frase smonta anche questa ipotesi: come sarebbe che a Torina di tre passaggi l'autobus non ne faccia neanche uno?? Salta le corse?? Non lo avrei mai immaginato.

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    3. "Quindi, diciamo, che più che probabilità che passi è la probabilità che sia in orario?"
      Sì, era sottinteso.

      Per il resto, hai capito male: di 3 passaggi può capitare che ne salti 1, quindi ne fa solo 2. Cioè può realisticamente succedere che il bus non passi affatto. Sai quante volte, quando andavo a lezione, un pullman era in ritardo, allora pensavo di prendere l'altro + la metropolitana, e questo non passava nemmeno e dovevo attendere (sperare) nel successivo passaggio?
      I torinesi sono parecchio furiosi sulla questione trasporto pubblico. Il preside del mio ex-liceo aveva intenzione di fare causa all'azienda trasporti, per il sistematico ritardo degli studenti. Ci sono momenti in cui non riesci nemmeno a salire a causa dell'affollamento. Il sindaco Appendino intende fare una seconda linea della metropolitana, quando i lavori di conclusione della prima stagnano da tipo 6 anni.

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